O chamado problema do corredor solitário, uma conjectura matemática estudada há décadas, voltou ao centro do debate após avanços que estabeleceram o resultado para grupos de até dez corredores. A questão investiga se, em uma pista circular, cada corredor com velocidade constante e distinta ficará, em algum momento, suficientemente distante dos demais. De acordo com informações da Wired, com base em texto originalmente publicado pela Quanta Magazine, os resultados mais recentes foram obtidos em 2025 e ampliaram um limite que estava parado havia quase duas décadas.
A reportagem informa que matemáticos já haviam provado a conjectura para até sete corredores, mas não conseguiam avançar além disso desde 2007. No ano passado, Matthieu Rosenfeld, do Laboratório de Ciência da Computação, Robótica e Microeletrônica de Montpellier, demonstrou o caso de oito corredores. Poucas semanas depois, o estudante de graduação Tanupat (Paul) Trakulthongchai, da Universidade de Oxford, estendeu a abordagem e provou o problema para nove e dez corredores.
O que diz o problema do corredor solitário?
Na formulação apresentada pela reportagem, um grupo de corredores parte do mesmo ponto de uma pista circular de comprimento igual a uma unidade, e cada um corre em velocidade constante e diferente. A conjectura afirma que cada corredor ficará “solitário” em algum instante, isto é, a uma distância de pelo menos um sobre N de qualquer outro corredor, sendo N o número total de corredores.
Embora a formulação pareça simples, o problema tem desdobramentos em diferentes áreas da matemática. Segundo a Wired, ele é equivalente a questões em teoria dos números, geometria e teoria dos grafos, além de aparecer em formulações sobre linha de visão em campos com obstáculos, trajetórias de bolas de bilhar e organização de redes.
“It has so many facets. It touches so many different mathematical fields,” said Matthias Beck of San Francisco State University.
A origem da conjectura, porém, não estava ligada a corridas. O texto relata que, nos anos 1960, o matemático Jörg M. Wills formulou uma conjectura sobre a melhor forma de aproximar números irracionais, como pi, por frações. Em 1998, um grupo de matemáticos reescreveu esse problema na linguagem dos corredores, dando origem à formulação que se tornaria conhecida como lonely runner problem.
Por que esse avanço é considerado relevante?
O interesse renovado decorre da dificuldade crescente do problema a cada novo corredor acrescentado. A reportagem destaca que, para dois ou três corredores, a prova é elementar. O caso de quatro corredores foi resolvido nos anos 1970, e os de cinco, seis e sete vieram depois. Ainda assim, avançar além de sete se mostrou especialmente difícil.
“It’s really a quantum leap,” said Beck, who was not involved in the work.
De acordo com o texto, acrescentar apenas um corredor torna a demonstração exponencialmente mais difícil. Por isso, a passagem de sete para dez corredores foi tratada como um salto importante dentro desse campo de pesquisa.
Outro ponto central foi a mudança de estratégia. Matemáticos já haviam percebido que não precisavam verificar todas as combinações possíveis de velocidades, inclusive frações e números irracionais. Bastava trabalhar com velocidades inteiras para que o resultado pudesse ser generalizado. Mesmo assim, o número de combinações continuava infinito, o que mantinha o problema em aberto.
Como Rosenfeld e Trakulthongchai chegaram aos novos resultados?
A reportagem credita a Terence Tao, da Universidade da Califórnia em Los Angeles, um passo relevante dado em 2015. Ele mostrou que, se a conjectura valesse para velocidades relativamente baixas, então também valeria para velocidades altas. Na prática, isso permitiu limitar a análise a velocidades inteiras até um certo limiar.
Segundo o texto, Rosenfeld reformulou o problema a partir da busca por possíveis contraexemplos. Em vez de perguntar apenas quando a conjectura seria verdadeira, ele investigou que propriedades as velocidades precisariam ter para que ao menos um corredor nunca ficasse sozinho. Com apoio de um programa de computador e de ferramentas da teoria dos números, ele mostrou que, em qualquer contraexemplo, o produto das velocidades teria de ser divisível por certos números primos.
- Terence Tao reduziu o problema a um conjunto finito de verificações, ao menos em teoria.
- Matthieu Rosenfeld provou o caso de oito corredores.
- Paul Trakulthongchai adaptou a abordagem para provar os casos de nove e dez corredores.
O texto explica que Rosenfeld combinou essa restrição com uma versão modificada do limiar obtido a partir do trabalho de Tao. Com isso, argumentou que qualquer contraexemplo teria de ter um produto de velocidades ao mesmo tempo abaixo de certo limite e divisível por vários primos, o que o tornaria grande demais para satisfazer a própria condição. A conclusão foi que tal contraexemplo não poderia existir, ao menos no caso de oito corredores.
Na sequência, Trakulthongchai desenvolveu uma técnica computacional mais eficiente para identificar os divisores primos necessários em eventuais contraexemplos. Isso lhe permitiu descartar todos os casos restantes para nove e dez corredores. A reportagem também afirma que Rosenfeld provou de forma independente o caso de nove corredores.
Mesmo com o avanço, a conjectura geral continua em aberto para números maiores de corredores. Ainda assim, os novos resultados recolocaram o problema entre os temas mais acompanhados por especialistas em matemática discreta, teoria dos números e métodos de prova assistidos por computador.
